Magyar Narancs: Kevés területen nyűgözik le igazán honfitársaink a világot - a matematika kétségtelenül ezek közé tartozik. Milyen érzés ma matematikusnak lenni Magyarországon, vagy éppen magyar matematikusnak a világban?
Lovász László: Mindenképpen jó - ráadásul a matematikának akad jó néhány olyan világraszóló eredményeket produkáló részterülete, ahol elismerik a magyarokat. Most voltam egy konferencián Princetonban, amit egy nagy amerikai alapítvány hívott össze azzal a céllal, hogy javítsák, illetve bevezessék a matematikai tehetségkutatást a harmadik világbéli országokban - ehhez a magyar módszereket és tapasztalatokat akarják mintául venni. Ettől függetlenül aki ebben él, az tudja, hogy a megbecsült pozíció csak akkor marad fenn, ha nap mint nap dolgozunk érte. Folyton ki kell találni valamit, újítani, előrelépni, különben lehagynak minket. Különösen a távol-keletiek.
MN: Meg az indiaiak...
LL: Meg az indiaiak is. A távol-keletiek sokkal tudatosabban, az indiaiak lazábban, ösztönösebben, de ugyancsak nagyon eredményesen művelik a matematikai képzést. Említhetek persze más, e téren rohamosan fejlődő országokat, például Iránt.
MN: Ön szerint van valamiféle kapcsolat a matematikai-logikai típusú gondolkodásra való hajlam és az egyes kultúrák, népek, országok gondolkodásmódbeli, nyelvi sajátosságai között?
LL: Annyiféle kultúrából érkezett kollégával dolgoztam együtt, hogy ezek után már nehéz egyértelmű kapcsolatokat találni. Vannak felszíni kulturális különbségek, amelyek befolyásolhatják egy kooperáció sikerességét, de ez sokkal inkább nyelvhasználati készségekhez köthető. Amikor már kialakul az együttműködés, és belépünk a matematika világába, nem látok különbségeket. Nincsenek statisztikák, hogy a matematikai tehetség milyen arányban jelentkezik az egyes kultúrákban.
MN: Nem is statisztikákról beszélnék, hanem kapcsolatokról, arról, hogy a gondolkodásnak vannak bizonyos nyelvi-logikai sémái, amik segíthetik vagy gátolhatják a matematikai absztrakcióra való képesség kifejlődését.
LL: A matematikára való hajlam mindenekelőtt veleszületett tehetség - az viszont már kultúrafüggő, hogy mit kezdünk vele. Ahhoz, hogy az absztrakt gondolkodást mint elismert, legális tevékenységet művelhessük, hogy egyáltalán felmerüljön az ilyen típusú tevékenység a pályaválasztás során, szükség van egy megfelelő kulturális közegre.
MN: Ezek szerint a mi kultúránk éppen megfelelő ehhez?
LL: Lényegében igen. Ez egy hosszú folyamat, sok-sok állomással. Kapcsolatban van olyan kis részletekkel, mint hogy egy kisvárosi matematikatanár tisztában van-e azzal, hogy léteznek tehetségkutató intézmények, matematikai versenyek, hogy van a Középiskolai Matematikai Lapok, s ha talál egy tényleg kiugró tehetséget a tanítványai között, akkor eszébe jut-e, hogy összehozza valakivel, aki ezzel foglalkozik. Elküldi-e az egyetemre matematika szakra, vagy úgy gondolja, hogy egy jó matematikus inkább mérnök legyen. Ez a fajta mentalitás hosszú idő alatt terjed el, s mi e tekintetben egy kicsit jobban állunk, mint sok más, nálunk akár gazdagabb, fejlettebb ország. De még ez sem jelenti azt, hogy itt minden tehetséget felismernének.
MN: Egyik korábbi interjújában már önnek szegezték a kérdést: mit kellene azért tenni, hogy a gyerekek jobban megszeressék a matematikát? Ezzel szemben nekem az a tapasztalatom, hogy az emberek egy része, akinek van ehhez érzéke, úgyis szeretni fogja a matematikát, a többieket meg hiába kínoznánk vele.
LL: Valamit értük is lehet tenni. A matematikaoktatásban sokszor előfordul, hogy olyan rutinokat próbálunk a gyerekekre erőltetni, megértés nélkül bemagoltatni, melyeknek semmi értelme, hiszen az életben nincs rájuk szükség. Ma már az összeadást, a szorzást sem csinálja senki papíron. Ugyanakkor a matematikai tehetség is olyan, mint a zenei: van vagy nincs. De a legtöbb ember nem annyira botfülű.
MN: Meg lehet tanítani a zene élvezetére...
LL: ...de persze nem lesz belőle Mozart. Ezt úgy fordítanám le a magam területére, hogy mondjuk egy hétköznapi esetben megérezze: matematikai természetű problémáról van szó. Vagy ha találkozik egy efféle problémával a munkája során, akkor keressen fel vele matematikust. Ha újságot olvas, és lát egy statisztikai számítást, tudja értelmezni.
MN: Ráadásul a matematikában is van egyfajta szépség, harmónia, csak fel kell fedezni.
LL: Sőt, a matematikusok között az egyik legfontosabb jelző az, hogy az adott levezetés, bizonyítás mennyire szép vagy elegáns - ez sokkal-sokkal fontosabb, mint az eredményesség, a nehézség vagy a bonyolultság. Gyakran ezt arra értjük, hogy az adott megoldás harmóniája mellett valamiféle mélyebb alapokat mutat meg, és olyan dolgokat hoz felszínre, melyek megértése nyomán az eredeti kérdésre már magától értetődő a válasz. A matematika története sok példát mutat erre. Ezt a fajta szépséget meg lehet mutatni az emberek többségének - hiszen nem áll távol olyan hétköznapi megoldásoktól, mint a rejtvényfejtés, ahol fontosabb egy hirtelen támadt ötlet, mint a kemény küzdelem. Ahhoz, hogy ebből matematika, rendszeres tudományos kutatás legyen, számos szakmai fogást és formulát meg kell tanulni, mert csak így tudjuk az ötleteinket lefordítani a tudomány elfogadott nyelvére.
MN: A középiskoláig megtanult matematika néhány területet (kombinatorika, valószínűség-számítás, gráfelmélet) leszámítva tudománytörténetileg nagyjából a XVIII. század közepéig, Eulerig tart - bár a newtoni mozgásegyenletek Euler-féle differenciálegyenleteivel a többség már nem nagyon tudna mit kezdeni. A gyerekek leginkább ókori, középkori eredetű és már akkor megoldott matematikai problémákon rágódnak. A többség azonban nem nagyon érti, hogy azóta mivel foglalkozik egy matematikus.
LL: Az igazi nehézség abban rejlik, hogy az ötlettől a konkrét matematikai formuláig csak egy nem könnyen megtanulható szakmai technika elsajátítása nyomán juthatunk el. Néha a matematikusok elkövetik azt a hibát, hogy feladják - ne is próbálkozzunk vele, inkább meséljünk szép, érdekes dolgokról, anekdotákról Fermat és Euler korából, amik beleférnek egy ismeretterjesztő előadásba. Én viszont úgy gondolom, hogy igenis beszélni kell arról, mivel foglalkozik, milyen problémákat akar megoldani a mai matematika. Ott van például a kriptográfia, mondjuk az elektronikus levélben elküldött üzeneteink lekódolásának ügye - ez nagyon izgalmas matematikai probléma. Mellesleg az ennek hátteréül szolgáló matematika Fermat idejében (az 1600-as évek első fele - a szerk.) már megvolt, de a régi kódolási módszerektől gyorsan eljuthatunk a modernekig. Azért is nehéz a matematikáról beszélni, mivel ha elmondom az alapgondolatot, akkor a közönség könnyen úgy hiheti, hogy érti - ám ha tovább is akarnának lépni, még sok-sok kötetnyi technikai, számítási módszer, fogalom, tétel, bizonyítás elsajátítása is szükséges. Ezek nélkül ugyanis az ötlet csak lóg a levegőben. Értékelhetetlen.
MN: Van-e a ma művelt matematikának olyan ága, amit sosem fognak a gyakorlatban hasznosítani? Úgy tűnik, hogy idővel minden matematikai felfedezést felhasználnak más normáltudományban, s ennek nyomán akár a gazdaságban, a termelésben is. Olyat is, amiről sohasem gondolták volna.
LL: Hardy, a múlt század első felének kiváló matematikusa pacifista meggyőződésből ellenezte a matematika gyakorlati alkalmazását, s büszke volt, hogy az általa művelt részterület merőben távol áll ettől. Azután kiderült, hogy éppen ez a számelmélet, a prímszámok teóriája alapvető fontosságú a kriptográfia, a kódolástechnika, a komputerbiztonság szempontjából. Igazán jó matematikát csak úgy lehet művelni, ha az ember figyelemmel kíséri a tudomány belső kérdéseit, saját logikáját. Ugyanakkor én magam is igyekszem követni, hogy mik azok a kérdések, amelyeket a világ tesz fel a matematikának, és ezekre milyen új válaszok adhatók. Bár hozzátenném, hogy meglévő matematikai ismereteink, az alkalmazott matematika is sokkal többet tudna produkálni a gyakorlatban. Ha az efféle kihívásokra próbálunk válaszokat adni, gyakorta újabb és újabb kérdések merülnek fel, gyakran el kell kalandozni a matematika más területeire - a való világból származó kérdések ugyanis ritkán illenek pontosan az algebra, az analízis vagy a kombinatorika fachjába.
MN: A kérdések nagy száma miatt s mivel a matematika már réges-rég specifikus kutatási részterületekre szeparálódott, azt feltételeznénk, hogy egy matematikus élete során maximum négy-öttel képes mélyrehatóan foglalkozni.
LL: Szinte minden matematikusnak van egy fő kutatási területe, de engem például leginkább az érdekel, hogy a résztéma hogyan kapcsolódik a matematika más fejezeteihez. Tudok-e más területekről olyan megoldást importálni, amit alkalmazhatok a magamén, és képes vagyok-e megoldásokat kínálni másoknak? Gyakran kiderül, hogy ugyanazt a jelenséget modellezzük más-más eszközökkel.
MN: Az ön egyik legfontosabb kutatási területe a matematikai hálózatok, gráfok elmélete - ami a matematikán belül magyar specialitásnak tekinthető.
LL: A kulcsszereplő Kőnig Dénes, a XX. század első felében alkotó nagy magyar matematikus, aki elkezdte ezt a területet vizsgálni, s először ért el fontos eredményeket. Az első gráfelméleti tankönyvet is ő írta 1937-ben. Tanítványai a korszak legkiválóbb matematikusai voltak - ebből a generációból Erdős Pál nevét az egész világ megismerte, de mellette Gallai Tibor vagy a nem főállású "gráfelmélészek", Turán Pál, Hajós György is komoly eredményeket produkáltak. Épp ezért nálunk sokkal előbb lett elfogadott ez a tudományterület, mint a világ más országaiban. A hatvanas években ráadásul hátszelet kaptunk azzal, hogy kiderült: a gráfelmélet fontos háttértudománya a számítástudománynak, a számítógépek világának. Ami a fizikának az analízis, a differenciálegyenletek, az a komputertudományban a gráfelmélet.
MN: Ez immár divatos témának számít, hiszen neurológiától kezdve szociológiai hálózati modellekig próbálják használni matematikai módszertanát. Gondolom, jól érzékelhető ez a fajta interdiszciplináris érdeklődés.
LL: Különösen a nagy hálózatok, a nagyon nagy gráfok matematikája - én magam is ezzel foglalkozom mostanában - került az érdeklődés homlokterébe. A régi, klasszikus elmélethez képest, amikor egy papírra fel lehet rajzolni a gráfot, megfelelő matematikai módszereket kell kidolgozni, eszközöket ahhoz, hogy kezelni tudjunk több milliárd csúcsú óriásgráfokat is, és válaszolni tudjunk az ennek kapcsán felmerülő, egyszerűnek tűnő kérdésekre. Márpedig ez a fizikában, a biológiában, a társadalomtudományokban is előkerül - nem beszélve az internetről.
MN: Az egyik legnépszerűbb hazai fejlesztésű netes kapcsolati háló, az iwiw használói naponta találkoznak efféle kérdésekkel. Például: maximum hány lépésben juthatok el bárkihez e hálózaton belül?
LL: Ez éppen olyan kérdés, amit nagyon nagy hálózatokban szoktak vizsgálni. A fellelhető algoritmusok tulajdonsága persze attól is függ, hogy milyen adatokat ismerünk az egyes csúcsokról. Én egy ennél látszólag egyszerűbb problémával foglalkozom: miként lehet ábrázolni egy efféle óriási gráfot, s melyik tíz, húsz vagy ötven kulcsparamétert kell ismernünk, hogy kielégítően ismerhessünk egy ilyen gigahálózatot.
MN: Az iwiwnél kiválóan szemlélteti e problémát, hogy grafikus ábrázolási funkciója a csúcspontok (résztvevők) számának növekedésével egyszerűen összeomlott.
LL: Egy bizonyos határ után ez már nem működik, az ábrázoláshoz más módszereket kell használnunk.
MN: Amikor létrejött az elektronikus világháló, még igen kevesen gondolhatták, hogy ennyi internet-felhasználóval kell számolnunk. Gondolom, ez is felvet néhány szakterületébe vágó kérdést.
LL: Épp ez a legtöbbet vizsgált probléma - ráadásul olyan terület, amely fel is kínálja a feldolgozásához szükséges eszközöket, így például a keresőprogramokat, böngészőket.
MN: Ön dolgozott a Microsoftnál is. Mennyire képes tudományos alapkutatások serkentésére egy alapvetően üzleti célú óriáscég? Nekik ebben mi a biznisz?
LL: Csak néhány igazán nagy cég tart fenn olyan kutatóközpontot, amely nemcsak az ő gyakorlati problémáinak megoldására szolgál, hanem alapkutatásokat is folytat. Én éppen egy ilyen csoportban voltam. A nagy cégek számára előnyös, hogy az itt dolgozó nagy nevek vonzzák a fiatalokat, ráadásul bármikor fel lehet őket keresni olyan kérdésekkel, amelyek gyakorlati jelentőséggel is bírnak. Az alapkutatások finanszírozása mindazonáltal főképpen az állam feladata, s csak kevés cég engedheti meg magának azt a kockázatot, hogy az eredményeket mások is hasznosítsák. Ezek ugyanis a publikálás után már közjavak. De az eredmények először a cég kutatóműhelyeiben hangzanak el - s ez már megéri az adott világcégnek a kockázatot.
MN: Alkalmanként felvetettek önnek konkrét gyakorlati problémákat is?
LL: Igen. Időnként besétáltak, és jöttek mindenféle kérdéssel. Ezek egy részéről hamar kiderült, hogy nem matematikai természetűek, de akadtak olyanok is, melyek szép matematikai problémának bizonyultak.
MN: A matematikának is vannak nem szándékolt következményei. A Davis-Hersh szerzőpáros egyik könyvében (A matematika élménye) olvastam azt a bonmot-t, hogy az első világháború a vegyészeké volt, a második a fizikusoké, a harmadikat meg (ha lesz) a matematikusok fogják megvívni és eldönteni.
LL: Szerintem inkább az informatikusok, de sok igazság van benne. Remélem, hogy erre nem kerül sor, de az is lehet, hogy már véget is ért, elvégre a hidegháborút megnyerte a Nyugat, és ebben jelentős szerepet játszottak az informatikusok s más alkalmazott matematikusok. De nem csak itt kulcsfontosságú a matematika hatása: ahány területen vizsgálódni kezdenek a tudósok, annyiszor derül ki, hogy a belátható méretű elemek hirtelen olyan óriási rendszerekké kapcsolódnak össze, melyek viselkedése a részek ismeretében sem modellezhető. Ekkor kerül elő a matematika, s esetenként képes eszközöket adni a más területen dolgozó tudósok kezébe. Ez a jövő kihívása a tudományterület számára. Jelenleg ugyanis nincs olyan globális elmélet, amely megmondaná, hogyan kell felépíteni a részletekből az egészet.
MN: Tehát korántsem igaz, amit a matematikáról és sokszor a fizikáról gondol a közvélemény egy jó része? Hogy ez valamiféle lezárt korpusz lenne - amit érdemes tudnunk belőle, azt az okos emberek rég tudják, s már csak apróbb részletkérdéseket kutatnak.
LL: Ez abszolút nem így van. A hatvanas-hetvenes évek időszaka érdekes és izgalmas periódus volt abból a szempontból, hogy a számítástudomány kérdései ekkor kerültek komoly kölcsönhatásba a matematikával. Akkoriban még az egyszerű eljárások felfedezése - hogyan kell a dolgokat hatékonyan sorba rendezni, vagy hogyan kell egy objektumcsoportból kiválasztani a középsőt - is nagy hatást tudtak kelteni. Ezek még az én diákkoromban is megoldatlanok voltak. Ám azóta annyit fejlődött a diszkrét matematika és a gráfelmélet, hogy immár új válaszokat is tudtak adni.
MN: Nemcsak más tudósokban, de például a képzőművészek egy részében is él az érdeklődés kurrens matematikai problémák iránt. A káoszelmélet, a fraktálgeometria, mátrixok, bizonyos topológiai kérdések szerepelnek a felhasznált témák, motívumok között.
LL: Nyilván nem véletlenül, hiszen, ahogy az előbb már beszéltünk róla, a szép a matematikában is elfogadott és közkeletű jelző. A matematika olyan struktúrák előállítására képes, melyeket ha láthatóvá teszünk, élvezetesnek, szépnek is találhatjuk őket. Akadnak olyanok, mint például Escher, akik éppen a matematikai paradoxonokat ábrázolták plasztikus formában. Pár évvel ezelőtt találkoztam egy zeneszerzővel, aki érdekes matematikai struktúrák felől érdeklődött. Meséltem neki az úgynevezett Fano-síkról, amely egy véges geometriai objektum, s hét elemén a geometria legalapvetőbb axiómái teljesülnek. Most kaptam egy üzenetet, hogy a szerző azóta komponált egy művet, amely eme hételemű sík kombinatorikáján alapul. Sajnos még nem hallottam. A művészeket érdeklik a matematikai struktúrák - van is egy könyv, a Gödel-Escher-Bach, amelyben a szerző, Douglas Hofstadter összehasonlítja a zenét, a képzőművészetet és a matematikai logikát, és a közös motívumokat, hasonló konstrukciókat taglalja. De ez a fajta érdeklődés sem új: a különböző matematikai természetű szimmetriák mindig is megragadták a képzőművészek és az építészek figyelmét. Az Alhambrában a sík minden elképzelhető szimmetriájára találunk példát - sőt, máig is zajlik a vita, hogy esetleg nem maradt-e ki egy közülük. A matematika száz éve jutott el oda, hogy maga eszközeivel végre hiánytalanul leírja azt a tizenhétféle szimmetriát, amelyet az arab művészek már sok évszázada képesek voltak ábrázolni.
