Maga itt a tánctanár?

  • Mérő László
  • 2006.08.31 00:00

Egotrip

Egy csodálatos orosz elme

Ismét bejárta a világsajtót egy matematikai sztori, és ismét főként azért, mert főszereplője jól illeszkedik a matematikusokról szóló sztereotípiákhoz. Ami nem csoda: aki egy száz éve megoldatlan problémát megold, az nyilván nem mindennapi ember.

Grigorij Perelman Szentpétervárott él. 1982-ben megnyerte a matematikai diákolimpiát, majd a híres Sztyeklov Intézet munkatársa volt. Jelenleg munkanélküli. Anyjával él egy szerény panellakásban, anyja 74 dolláros nyugdíjából. 2002-ben, amikor hosszú, magányos elvonulása végére megoldotta a híres Poincaré-sejtést, bizonyítását nem publikálta, hanem egyszerűen feltette az internetre. Senki sem lopta el, hanem elkezdték megérteni és megvizsgálni, hogy helyes-e a bizonyítás. Doktori értekezések és publikációk tömkelege született egy-egy részének teljes tisztázásából.

A Poincaré-sejtést a híres francia matematikus, Henri Poincaré fogalmazta meg 1904-ben, fél évszázaddal azután, hogy Bolyai János (és vele nagyjából egy időben az orosz Nyikolaj Lobacsevszkij) "semmiből egy új, más világot" teremtett. Bolyainak ezt a naplóbejegyzését szinte mindenki ismeri, de csak kevesen tudják, miért érdekes ez az "új, más világ".

Ez a világ azért volt nagyon "új és más", mert azt feltételezte, hogy Eukleidész úgynevezett párhuzamossági axiómája nem igaz. Ez az axióma azt mondja ki, hogy ha adott egy egyenes és azon kívül még egy pont egy síkban, akkor ezen a ponton keresztül csak egy olyan egyenes halad át, amely az adott egyenest sehol sem metszi, azaz vele párhuzamos. Több mint két és fél évezreden keresztül természetesnek tartották, hogy a világ csakis ilyen lehet, bár ezt nem tudták bizonyítani. Bolyai kipróbálta, hogy milyen lehet egy olyan világ, amiben ez az axióma nem érvényes, és azt találta, hogy abban a világban is egy nagyon érdekes matematika építhető fel. Ebben a világban például egy háromszög szögeinek összege nem 180°, hanem kevesebb, de ezzel együtt szinte minden "régi" tételnek megfelel valamiféle új tétel. Ez is egyfajta matematika.

Később kiderült, hogy nagyon is igazi matematika. Ezen azt értem, hogy sikerült bebizonyítani: ha az euklideszi geometria nem vezet sohasem ellentmondásra, akkor a Bolyai-féle sem. Ez azt jelenti, hogy matematikai eszközökkel nem lehet eldönteni, milyen a világ valójában: Bolyai-féle vagy euklideszi. A fizikusok talán el tudhatják dönteni, mert a két elmélet helyenként (nem emberi nagyságrendek esetén) egészen más előrejelzéseket ad, de a matematikusok biztosan nem kompetensek ebben a kérdésben. A matematika be tudta bizonyítani, hogy egy kérdés eldöntésében nem kompetens, és ettől nem gyengébb lett, hanem sokkal erősebb.

A fizikusok pedig azt találták, hogy ha már egyszer választani lehet, akkor az univerzum inkább nem euklideszi. Csakhogy felmerült a kérdés, hogy miért csak ez a kétfajta matematika létezhet - ezek után már az is elképzelhető, hogy a világ valójában se nem Bolyai-féle, se nem euklideszi, hanem egy megint másfajta matematikának felel meg. Azóta valóban sikerült a matematikusoknak még néhány "új világot" találniuk, és félő volt, hogy ennek sohasem lesz vége.

Poincaré a következő kérdést vetette fel: Ha egy narancs felületére elhelyezünk egy gumiból készült hurkot, igaz-e minden narancs és minden hurok esetén, hogy ezt a hurkot szigorúan a narancs felületén maradva össze lehet húzni egy pontra - feltéve persze, hogy a narancs ugyan lehet akármilyen rondán rücskös, de nem lehet lyukas.

A józan ész válasza az, hogy ez nyilvánvaló. Csakhogy a józan ész az euklideszi párhuzamossági axiómát is nyilvánvalónak tekintette, pedig ott rejlett mögötte egy "új, más világ". Poincaré szeretett volna biztos lenni abban, hogy legalább itt nincs a dolgok mögött egy "új, más világ", azaz ezt a tételt (persze teljesen absztrakt matematikai szaknyelven, nem narancsokkal és gumihurkokkal megfogalmazva) be lehet bizonyítani tisztán matematikai eszközökkel.

Ez a híres Poincaré-sejtés. A dolog látszólag teljesen magától értetődő, de ott volt, mintegy figyelmeztetésnek, az euklideszi geometria története, az egészen új, más matematikai világok lehetősége, olyanoké, amelyek a fizikusok számára is fontosnak bizonyultak.

Perelman nemcsak ezt a sejtést bizonyította be, hanem azt is, hogy a lehetséges "új, más világok" száma egyáltalán nem végtelen, hanem konkrétan nyolc, és ezek mindegyikét ismerjük is már. A fizikusok immár biztosak lehetnek legalább abban, hogy az univerzum geometriáját valójában nem akárhányféle matematika írhatja le, hanem csakis ez a nyolcféle.

2000-ben az amerikai magánintézmény, a Clay Mathematics Institute egy-egy millió dollárt tűzött ki az általuk legfontosabbnak tartott hét matematikai probléma megoldására - ezek egyike a Poincaré-sejtés. A világsajtóban elterjedt a hír, hogy Perelman ezt az egymillió dollárt utasította vissza. Ez így nem igaz: Perelman csak annyit nyilatkozott, hogy majd akkor dönt erről, ha felajánlják neki. Valóban, Oroszországban veszélyes lehet már az is, ha valakinek kilátása van egymillió dollárra. Viszont a múlt héten tény-leg nem vette át a "matematikai Nobel-díjat", a Fields Medalt a spanyol királytól. Igaz, ezzel csak 15 000 dollár járt volna, az is kanadai, de azért ez is sokkal több, mint a 74 (amerikai). Perelmant tényleg nem érdekli az elismerés, a nyilvánosság, erről következetesen csak annyit hajlandó nyilatkozni, hogy ezek a dolgok nem a nagyközönségre, a bulvársajtóra tartoznak. A matematikus kollégák szakmai e-mailjeire válaszol, de a média megkereséseire sohasem.

Nem zárult még le Perelman bizonyításának ellenőrzése, bár valószínűleg közel van a vége. A Clay Intézet majd akkor dönt. A Fields Medal-bizottság viszont most adta ki neki a díjat, mert a szabályzat szerint ezt a kitüntetést csak 40 év alatti matematikusok kaphatják meg (a matematikusok korán érnek). Perelman most 40 éves, és ha netán kiderül valami hiba a bizonyításában, az általa kidolgozott új matematikai technikákért akkor is megérdemli a díjat. Ugyanakkor Perelman jogosan érezheti ezt az elismerést korainak - ez esetben a díj visszautasítása épphogy nem az excentrikusságát, hanem emberi nagyságát bizonyítja.

Neked ajánljuk