Benoit Mandelbrot és a fraktálok - Hópihe és káosz

Tudomány

Nem érte meg 86. születésnapját az általa fraktálnak nevezett csodás matematikai univerzumok felfedezője. Munkássága nyomán sokkal többet tudunk arról is, mire jó a matematika.
Nem érte meg 86. születésnapját az általa fraktálnak nevezett csodás matematikai univerzumok felfedezője. Munkássága nyomán sokkal többet tudunk arról is, mire jó a matematika.

A most elhunyt Benoit Mandelbrot életrajza nem csupán matematikai felfedezései miatt bővelkedik izgalmakban. Annak számára, aki - Mandelbrothoz hasonlóan - 1924-ben születik Varsóban litvániai zsidó család leszármazottjaként, korántsem magától értetődő a sikeres, sok évtizedes kutatói pálya. Előbb túl kellett élni a XX. századi történelem borzalmait, aminek érdekében a Mandelbrot família még idejében (1936-ban) Franciaországba menekült - és bár a háború ide is elért, végül sikerült elkerülniük a deportálást. Mandelbrot egyetemi tanulmányai alatt olyan emberektől tanulhatott, akik élen jártak a később - már tanítványuk által - fraktálnak keresztelt matematikai objektumok kutatásában: Gaston Julia és Paul Levy nevét általuk felfedezett fraktálok is őrzik. Más kérdés, hogy ezek pontos és szemléletes megjelenítéséhez kellett a modern számítógépek és komputergrafikai eljárások elterjedése is.

Képzetes rész

Fraktálnak úgynevezett "önhasonló", végtelenül komplex matematikai alakzatokat nevezünk - ezek igencsak változatos formáiban jól felismerhető, matematikai eszközökkel leírható ismétlődés tapasztalható. Az ilyen objektumoknál az önhasonlóság azt jelenti, hogy egy kisebb elem felnagyítva - legalábbis a fraktálok egy részénél - ugyanolyan struktúrájú, mint egy nagyobb elem. A hasonlóság lehet teljes, hozzávetőleges vagy éppen statisztikai jellegű - utóbbi esetben a "leszármazott" elemek nem konkrét alakjukat, hanem valamiféle matematikai-statisztikai jellemzőt "örökölnek". A "fraktál" etimológiája egy sajátosságra utal: Mandelbrot azért adta nekik a fractus (törés) szóból származó nevet, mivel ezek dimenziója nem egész számú. Ennek megértéséhez be kell látnunk, hogy egy fraktálhalmaz se nem sík (kétdimenziós), se nem vonal (egydimenziós). Egy fraktális vonal kiszámítása nyomán keletkező kép mindinkább kitölti a síkot: az egydimenziós vonal egyre közelebb kerül ahhoz, hogy kétdimenzióssá váljon. Általánosságban elmondható, hogy egy fraktálszerű alakzatnál a kicsinyítés mértékét meghaladó módon szaporodnak az önhasonló elemek. Fraktálok generálására, illetve definiálására több, egyaránt matematikai módszer adott - közös jellemzőjük, hogy úgynevezett "rekurzív" jellegűek. Ezek a végrehajtás során a saját maguk által definiált műveletet (vagy műveletsort) hajtják végre, ezáltal szinte önmagukat ismétlik. A rekurzió eredménye egy adott absztrakt objektum megsokszorozása - önhasonló módon.

Mandelbrot a hatvanas-hetvenes években - amikor már az Egyesült Államokban dolgozott, az IBM alkalmazásában - olyan matematikai alakzatokat kezdett tanulmányozni, melyek definiálásához a komplex számsíkon végzett rekurzív műveletek révén juthatunk el. A komplex számokról elég azt tudnunk, hogy van egy valós (némileg könnyebben felfogható) és egy képzetes részük (az utóbbi tartalmazza mínusz egy négyzetgyökét is). Ilyenekkel foglalkozott tanítómestere, Gaston Julia és Pierre Fatou, egy másik jeles francia matematikus is. Az ő nyomdokain haladva, a Julia-halmazt definiáló matematikai eljárás módosításával jutott el Mandelbrot az utólag róla elnevezett s később megannyi számítógép monitorján megjelenő alakzat felfedezéséhez. Munkáját megkönnyítette, hogy ő, szemben megannyi jeles, fraktáltémában is "utazó" matematikus elődjével (Weierstrass, Koch, Sierpinski, Menger, Cantor) már közvetlenül számítógéppel dolgozhatott.

Moha és páfrány

Könnyen vonhatnánk le azt az elhamarkodott következtetést, hogy a fraktálok szép, ámde értelmetlen dolgok - csakhogy a matematika nyelvén ezúttal is a természet egyik algoritmusát próbáljuk leírni. Fraktálszerű (igaz: nem teljesen szigorú önhasonlóságra épülő) szerkezete van a téli ablakon megjelenő jégvirágnak, a villámlásnak, számos növényi mintázatnak, mint például a páfrány levelének, a karfiolnak, a brokkolinak, a testünket behálózó véredényrendszernek, sőt, sajátos módon a tengerpartok is a (jórészt statisztikai) önhasonlóságra mutatnak példát. Maga Mandelbrot éppen ez utóbbi matematikai modellezésével kezdte fraktálok utáni kutakodását "Milyen hosszú Britannia partvonala? Statisztikai önhasonlóság és tört dimenziók" című, 1967-ben a Science magazinban publikált cikkében, amely sokban támaszkodott egy másik jeles matematikus, Lewis Fry Richardson kutatásaira.

Ez utóbbi már talán érzékelteti, hogy a fraktálokkal való bíbelődés számos, nagyon gyakorlatias probléma megoldásához segíthet hozzá minket. A fraktálok definiálására, konstruálására szolgáló matematikai-geometriai műveletekkel könnyedén tudunk modellezni bármiféle geológiai képződményt, térfelszíni jelenséget, hegyet-völgyet, dombot, medencét. De fraktálgeometriai eszközökkel dolgozhatnak már szeizmológusok, talajkutatók vagy akár az enzimek működését firtató biokémikusok, illetve a hektikus piaci mozgásokat firtató matematikai közgazdászok is. (Mandelbrot ez utóbbi területen is aktív volt.) Az persze magától értetődő, hogy a fraktálgeometriai alkalmazások mekkora kincsesbányát jelentenek a komputergrafikusok számára - de sok (elektronikus eszközöket is használó) zenekészítő választ olyan véletlen matematikai eljárásokon alapuló algoritmusokat, melyek gyakorlatilag egy fraktált definiálnak. A fraktálgeometria leleményeit sok tekintetben alkalmazza a vele kéz a kézben fejlődő káoszelmélet, és persze ne feledkezzünk meg azokról sem, akiknek - akár profi, akár "wannabe" művészként vagy egyszerű befogadóként - egyszerűen "bejön" a fraktálok sajátos, ha úgy tetszik, metafizikus szépsége.

Figyelmébe ajánljuk

Tendencia

Minden tanítások legveszélyesebbike az, hogy nekünk van igazunk és senki másnak. A második legveszélyesebb tanítás az, hogy minden tanítás egyenértékű, ezért el kell tűrni azok jelenlétét.

Bekerített testek

A nyolcvanas éveiben járó, olasz származású, New Yorkban élő feminista aktivista és társadalomtudós műveiből eddig csak néhány részlet jelent meg magyarul, azok is csupán internetes felületeken. Most azonban hét fejezetben, könnyebben befogadható, ismeretterjesztő formában végre megismerhetjük 2004-es fő műve, a Caliban and the Witch legfontosabb felvetéseit.

„Nem volt semmi másuk”

Temették már el élve, töltött napokat egy jégtömbbe zárva, és megdöntötte például a lélegzet-visszatartás világrekordját is. Az extrém illuzionista-túlélési-állóképességi mutatványairól ismert amerikai David Blaine legújabb műsorában körbejárja a világot, hogy felfedezze a különböző kultúrákban rejlő varázslatokat, és a valódi mesterektől tanulja el a trükköket. 

Játék és muzsika

Ugyanaz a nóta. A Budapesti Fesztiválzenekarnak telefonon üzenték meg, hogy 700 millió forinttal kevesebb állami támogatást kapnak az együttes által megigényelt összegnél.

A klónok háborúja

Március 24-én startolt a Tisza Párt Nemzet Hangja elnevezésű alternatív népszavazása, és azóta egyetlen nap sem telt el úgy, hogy ne érte volna atrocitás az aktivistákat.

Hatás és ellenhatás

  • Krekó Péter
  • Hunyadi Bulcsú

Az európai szélsőjobb úgy vágyott Donald Trumpra, mint a megváltóra. Megérkezik, majd együtt elintézik „Brüsszelt” meg minden liberális devianciát! Ám az új elnök egyes intézkedései, például az Európával szemben tervezett védővámok, éppen az ő szavazó­táborukat sújtanák. Egyáltalán: bízhat-e egy igazi európai a szuverenista Amerikában?

„Egy normális országban”

Borús, esős időben több száz fő, neonácik és civilek állnak a Somogy megyei Fonó község központjában. Nemzeti és Mi Hazánk-os zászlók lobognak a szélben. Tyirityán Zsolt, a Betyársereg vezetője és Toroczkai László, a szélsőjobboldali párt elnöke is beszédet mond. A résztvevők a lehangoló idő ellenére azért gyűltek össze szombat délután, mert pár hete szörnyű esemény történt a faluban. Március 14-én egy 31 éves ámokfutó fahusánggal rontott rá helyi lakosokra: egy középkorú és egy idős nő belehalt a támadásba, egy idős férfi súlyos sérüléseket szenvedett.