A most elhunyt Benoit Mandelbrot életrajza nem csupán matematikai felfedezései miatt bővelkedik izgalmakban. Annak számára, aki - Mandelbrothoz hasonlóan - 1924-ben születik Varsóban litvániai zsidó család leszármazottjaként, korántsem magától értetődő a sikeres, sok évtizedes kutatói pálya. Előbb túl kellett élni a XX. századi történelem borzalmait, aminek érdekében a Mandelbrot família még idejében (1936-ban) Franciaországba menekült - és bár a háború ide is elért, végül sikerült elkerülniük a deportálást. Mandelbrot egyetemi tanulmányai alatt olyan emberektől tanulhatott, akik élen jártak a később - már tanítványuk által - fraktálnak keresztelt matematikai objektumok kutatásában: Gaston Julia és Paul Levy nevét általuk felfedezett fraktálok is őrzik. Más kérdés, hogy ezek pontos és szemléletes megjelenítéséhez kellett a modern számítógépek és komputergrafikai eljárások elterjedése is.
Képzetes rész
Fraktálnak úgynevezett "önhasonló", végtelenül komplex matematikai alakzatokat nevezünk - ezek igencsak változatos formáiban jól felismerhető, matematikai eszközökkel leírható ismétlődés tapasztalható. Az ilyen objektumoknál az önhasonlóság azt jelenti, hogy egy kisebb elem felnagyítva - legalábbis a fraktálok egy részénél - ugyanolyan struktúrájú, mint egy nagyobb elem. A hasonlóság lehet teljes, hozzávetőleges vagy éppen statisztikai jellegű - utóbbi esetben a "leszármazott" elemek nem konkrét alakjukat, hanem valamiféle matematikai-statisztikai jellemzőt "örökölnek". A "fraktál" etimológiája egy sajátosságra utal: Mandelbrot azért adta nekik a fractus (törés) szóból származó nevet, mivel ezek dimenziója nem egész számú. Ennek megértéséhez be kell látnunk, hogy egy fraktálhalmaz se nem sík (kétdimenziós), se nem vonal (egydimenziós). Egy fraktális vonal kiszámítása nyomán keletkező kép mindinkább kitölti a síkot: az egydimenziós vonal egyre közelebb kerül ahhoz, hogy kétdimenzióssá váljon. Általánosságban elmondható, hogy egy fraktálszerű alakzatnál a kicsinyítés mértékét meghaladó módon szaporodnak az önhasonló elemek. Fraktálok generálására, illetve definiálására több, egyaránt matematikai módszer adott - közös jellemzőjük, hogy úgynevezett "rekurzív" jellegűek. Ezek a végrehajtás során a saját maguk által definiált műveletet (vagy műveletsort) hajtják végre, ezáltal szinte önmagukat ismétlik. A rekurzió eredménye egy adott absztrakt objektum megsokszorozása - önhasonló módon.
Mandelbrot a hatvanas-hetvenes években - amikor már az Egyesült Államokban dolgozott, az IBM alkalmazásában - olyan matematikai alakzatokat kezdett tanulmányozni, melyek definiálásához a komplex számsíkon végzett rekurzív műveletek révén juthatunk el. A komplex számokról elég azt tudnunk, hogy van egy valós (némileg könnyebben felfogható) és egy képzetes részük (az utóbbi tartalmazza mínusz egy négyzetgyökét is). Ilyenekkel foglalkozott tanítómestere, Gaston Julia és Pierre Fatou, egy másik jeles francia matematikus is. Az ő nyomdokain haladva, a Julia-halmazt definiáló matematikai eljárás módosításával jutott el Mandelbrot az utólag róla elnevezett s később megannyi számítógép monitorján megjelenő alakzat felfedezéséhez. Munkáját megkönnyítette, hogy ő, szemben megannyi jeles, fraktáltémában is "utazó" matematikus elődjével (Weierstrass, Koch, Sierpinski, Menger, Cantor) már közvetlenül számítógéppel dolgozhatott.
Moha és páfrány
Könnyen vonhatnánk le azt az elhamarkodott következtetést, hogy a fraktálok szép, ámde értelmetlen dolgok - csakhogy a matematika nyelvén ezúttal is a természet egyik algoritmusát próbáljuk leírni. Fraktálszerű (igaz: nem teljesen szigorú önhasonlóságra épülő) szerkezete van a téli ablakon megjelenő jégvirágnak, a villámlásnak, számos növényi mintázatnak, mint például a páfrány levelének, a karfiolnak, a brokkolinak, a testünket behálózó véredényrendszernek, sőt, sajátos módon a tengerpartok is a (jórészt statisztikai) önhasonlóságra mutatnak példát. Maga Mandelbrot éppen ez utóbbi matematikai modellezésével kezdte fraktálok utáni kutakodását "Milyen hosszú Britannia partvonala? Statisztikai önhasonlóság és tört dimenziók" című, 1967-ben a Science magazinban publikált cikkében, amely sokban támaszkodott egy másik jeles matematikus, Lewis Fry Richardson kutatásaira.
Ez utóbbi már talán érzékelteti, hogy a fraktálokkal való bíbelődés számos, nagyon gyakorlatias probléma megoldásához segíthet hozzá minket. A fraktálok definiálására, konstruálására szolgáló matematikai-geometriai műveletekkel könnyedén tudunk modellezni bármiféle geológiai képződményt, térfelszíni jelenséget, hegyet-völgyet, dombot, medencét. De fraktálgeometriai eszközökkel dolgozhatnak már szeizmológusok, talajkutatók vagy akár az enzimek működését firtató biokémikusok, illetve a hektikus piaci mozgásokat firtató matematikai közgazdászok is. (Mandelbrot ez utóbbi területen is aktív volt.) Az persze magától értetődő, hogy a fraktálgeometriai alkalmazások mekkora kincsesbányát jelentenek a komputergrafikusok számára - de sok (elektronikus eszközöket is használó) zenekészítő választ olyan véletlen matematikai eljárásokon alapuló algoritmusokat, melyek gyakorlatilag egy fraktált definiálnak. A fraktálgeometria leleményeit sok tekintetben alkalmazza a vele kéz a kézben fejlődő káoszelmélet, és persze ne feledkezzünk meg azokról sem, akiknek - akár profi, akár "wannabe" művészként vagy egyszerű befogadóként - egyszerűen "bejön" a fraktálok sajátos, ha úgy tetszik, metafizikus szépsége.
