Szupernaturális számok
Jó néhány vicc kezdődik úgy, hogy a bolondok megszámozzák a vicceket. Sokféle poén felé kanyarodhat el ez a kezdet, például valaki mond egy számot, erre jól megverik, mert nagyon bugyuta viccet mondott, vagy óriási nevetés tör ki, mert új viccet mondott.
Képzeljük el, hogy egy játékos kedvű matematikus a matematikai formulákat számozza ugyanígy meg. Most senki sem fog nevetni, de a feladat megoldható: először sorra vesszük az egyetlenegy jelből álló formulákat (nem zavartatva magunkat attól, hogy ezek értelmetlenül egyszerűek), amikor ezek elfogytak, jönnek a két jelből állók, és így tovább, előbb-utóbb mindegyik formula sorra kerül. Az eljárás eredményeként kap egy számot a Pitagorasz-tétel, egy másikat az a név nélküli, de gyakran használt formula, miszerint a2-b2=(a+b)(a-b), sőt kapnak egy-egy számot az összes olyan formulák is, amelyek tévesek, például ez is: (a+b)(a+b)= a2+b2.
Játékos kedvű matematikusunk ezek után még tovább megy, és a formulák után megszámozza a bizonyításokat is, más szóval: a levezetéseket, amelyek nem mások, mint egymásból következő matematikai formulák sorozatai. Matematikusunk most is ugyanúgy jár el, mint az előbb: először sorra veszi az egylépéses levezetéseket, utána a kétlépéseseket, és így tovább. A lényeg az, hogy ami levezetést egyáltalán matematikus valaha is kitalálhat, ahhoz ezentúl tartozni fog egy szám, hogy ő történetesen hányadik az összes elképzelhető levezetés közül. Előbb-utóbb mindegyik lehetséges levezetés sorra kerül, mivel szám van épp elég, mindegyiknek jut egy.
Kurt Gödelnek hívták azt a matematikust, aki ezt a számozgatást először megtette. Az egész mutatványt pusztán azért csinálta, hogy felállíthasson egy furcsa formulát, amelyet később a tiszteletére G-nek neveztek el. Gödel G-formulája emberi nyelvre lefordítva így néz ki: "nem létezik olyan x szám, hogy az x-edik levezetés éppen G-t bizonyítja be". Gödel bravúrdarabja az volt, hogy sikerült megfogalmaznia ezt a formulát teljesen egzaktul, a tiszta matematika nyelvén.
A G-formula tehát azt állítja, hogy nincs olyan levezetés, amely éppen őt eredményezné. Ez a formula minden bizonnyal egy igaz állítást fejez ki, mert a G ellentéte nem lehet levezethető, hiszen az azt jelentené, hogy mégiscsak létezik olyan x szám, amely a G levezetését kódolja. Ez esetben G egy hamis állítás lenne, amely azonban levezethető. Ettől viszont a teljes matematika azonnal összeomlana, mivel egy hamis állítást is le lehetne benne vezetni - és akkor már akármit is, mert azt már régen tudják a matematikusok, hogy ha a matematikában egyetlenegy ellentmondás is van, akkor bármi levezethető benne (és bárminek az ellentéte is). A matematika vagy tökéletesen romlatlan, vagy velejéig romlott, nem úgy, mint mi, emberek.
A G-formula ezek szerint egy olyan állítást (vagy a bolondoknál: viccet) kódol, amelyről nem mondható meg, hogy levezethető-e vagy sem: a bolondok az idők végezetéig sem tudnák eldönteni, nevessenek-e vagy sem; végérvényesen zavarba jönnének tőle. Nem így a matematikusok. Egy Abraham Robinson nevű matematikusnak az jutott eszébe, hogy ha egyszer ez így van, akkor az is egyfajta matek, ha a szokásos matematika rendszeréhez hozzávesszük a G ellentétét. G ellentététől csak akkor omlana össze a matek, ha levezethető lenne, de mivel nem az, megtehetjük, hogy józan paraszti eszünkkel dacolva, G-t juszt sem tekintjük igaznak, sőt kiindulási axiómának fogadjuk el G ellentétét. Ha a klasszikus matek nem vezet sohasem ellentmondásra, akkor ez az új matek sem.
Ebben az újfajta matekban tehát létezik egy olyan szám, amely éppen a G levezetését kódolja, hogy neve is legyen, jelöljük I-vel. Ez az I szám nem lehet a hagyományos számok egyike sem, hiszen akkor G levezethető lenne a hagyományos matekban is. Az I tehát nem az 1, nem a 2, és nem bármelyik eddig ismert szám. Bizonyos értelemben mindegyik "hagyományos" számnál nagyobb, de mégis egy valódi szám, nem valamiféle végtelen mennyiség. Van duplája, van négyzete, hozzá lehet adni vagy ki lehet belőle vonni bármilyen számot - hagyományosat vagy nem hagyományosat egyaránt.
Az így kapott számokat nevezték el szupernaturális számoknak - nem azért, mert valamiféle természetfeletti tulajdonsággal rendelkeznek, hanem mert nagyobbak minden hagyományos természetes számnál, és mégis valódi számok. Szabályosan számolhatunk velük, és sohasem fogunk ellentmondásra jutni a számolás során (legalábbis akkor nem, ha a hagyományos matek nem ellentmondásos).
Mármost: mi a helyzet az I reciprokával, az 1/I számmal? Ezek szerint ez a szám minden hagyományos számnál kisebb, de mégsem nulla. Pont olyasvalami, amiről a matematikusok Newton óta mindig is beszéltek, csak jobb híján mindenféle bonyolult absztrakciókkal ragadták meg - és most itt van a kezünkben! Az úgynevezett "magasabb matematika", a differenciál- és integrálszámítás ezzel alaposan leegyszerűsödik: pusztán csak az 1/I-vel kell szabályosan számolgatni; szorozni és osztani.
Csak egy baj van: ebben a matematikában viszont az összeadás és a szorzás válik rendkívül bonyolulttá. Pontosabban: bebizonyították, hogy ebben a matematikában vagy az összeadás, vagy a szorzás ugyanolyan bonyolult, mint a mi hagyományos matematikánkban az integrálszámítás. És az újfajta matek művelője még csak azt sem teheti meg, hogy mondjuk az összeadáshoz a hagyományos matekot alkalmazza, mert nem tudhatja, hogy a szám, amivel épp dolgozni akar, szerepel-e a hagyományos matematikában vagy sem.
A sci-fikben általában úgy képzelik, hogy egy idegen civilizáció tagjainak majd a matematika segítségével bizonyítjuk az intelligenciánkat. De sajnos előfordulhat, hogy abban a civilizációban történetesen valami ilyesféle, számunkra nem hagyományos matematika fejlődött ki. Egészen másképp látják már az egész számokat is, mint mi, és természetes számukra, hogy egy 7-8 éves gyerek könnyedén megold egyszerűbb differenciálszámítási feladatokat. Ezért ők a mi matematikánk bemutatásából azt a következtetést vonnák le, hogy sajnálatosan fejletlenek vagyunk: hihetetlenül szegényes a számfogalmunk, és még a legegyszerűbb mozgásegyenlet megoldása is problémát jelent számunkra. Mi viszont azt állapítanánk meg, hogy nekik még két közönséges négyjegyű szám összeadása is nehézséget okoz...
