Maga itt a tánctanár?

A nagy számok törvénye

  • Mérő László
  • 2011. május 26.

Egotrip

Bő háromszáz évvel ezelőtt Jakob Bernoulli, a híres svájci tudósdinasztia talán legtehetségesebb tagja felfedezte a nagy számok törvényét. Ez a törvény tisztán matematikai tétel, mégis valahogy átment a köztudatba. Kérdezgettem róla az egyetemistákat, akik bár nem tanultak róla matematikából, többnyire mégis ismerték ezt a kifejezést, és adtak is rá valamiféle magyarázatot. E magyarázatok általában valamiféle hétköznapi bölcsességet fejeztek ki, meglehetősen homályos formában. Például: a nagy számok törvénye szerint aki sokat játszik, az előbb-utóbb nyer. Vagy: a nagy számok törvénye szerint mindenféle furcsaság, ami egyáltalán előfordulhat, valahol, valamikor elő is fog fordulni.

Bő háromszáz évvel ezelőtt Jakob Bernoulli, a híres svájci tudósdinasztia talán legtehetségesebb tagja felfedezte a nagy számok törvényét. Ez a törvény tisztán matematikai tétel, mégis valahogy átment a köztudatba. Kérdezgettem róla az egyetemistákat, akik bár nem tanultak róla matematikából, többnyire mégis ismerték ezt a kifejezést, és adtak is rá valamiféle magyarázatot. E magyarázatok általában valamiféle hétköznapi bölcsességet fejeztek ki, meglehetősen homályos formában. Például: a nagy számok törvénye szerint aki sokat játszik, az előbb-utóbb nyer. Vagy: a nagy számok törvénye szerint mindenféle furcsaság, ami egyáltalán előfordulhat, valahol, valamikor elő is fog fordulni.

A nem matematikusok különböző dolgokat értettek ezen a kifejezésen, de értettek rajta valamit. A kép kusza - igaz, háromszáz éve még a matematikusok számára is az volt. Bernoulli, mint minden zseni, valami nagyon kusza dologban látott meg valamiféle váratlan, rejtett rendet.

Ha egy pénzérmét sokszor feldobunk, akkor a fejek és az írások hosszú távon minden bizonynyal kiegyenlítődnek. Egy ügyes, az avatatlanok számára észrevehetetlen ólmozás változtathat ezen, de ezt csalásnak tekintjük. Ha pedig nem csalnak, akkor a fejek és az írások számának hosszú távon egyre inkább megegyezőnek kell lenniük. Ebben erősen hajlamosak vagyunk hinni.

Csakhogy legalább ilyen erős alapokon nyugszik az a hitünk is, hogy a pénzérmének nincsen semmiféle emlékezőképessége. Akkor viszont hogyan egyenlítődhet ki a fejek és az írások aránya? Ha a véletlen szeszélye folytán az első három-négy dobás eredménye fej, akkor a továbbiakban az írások esélyének picit 50 százalék fölött kell lennie, különben nem lesz kiegyenlítődés. Márpedig tapasztalatból jól tudjuk: gyakran előfordul, hogy az első három-négy dobás eredménye fej. De honnan tudja ezt a pénzérme, ha nincs emlékezete?

Az imént matematikushoz nem illő módon pontatlanul fogalmaztam, amikor azt mondtam, hogy "a fejek és az írások hosszú távon minden bizonnyal kiegyenlítődnek". Matematikus olvasóim ezen talán fel is kapták a fejüket, nem matematikus olvasóim viszont minden bizonnyal nem. Pedig mint mindig, a lényeg a finomságokban van - ahogy az orosz közmondás tartja, az ördög a részletekben lakik. Attól még, hogy a fejek és az írások aránya 1-hez közelít, a mennyiségük közti különbség akármilyen nagyra is nőhet. Ezért lehet kiegyenlítődés hosszú távon anélkül, hogy a pénzérme emlékezne a múltra, csak pontosan meg kell mondani, mi egyenlítődik ki. Nem a fejek és az írások száma egyenlítődik ki, csak e két szám aránya közelít az 1-hez.

Lássuk ezt egy számpéldán, úgy jobban érthető lesz. Ha mondjuk 100 dobás után a fejek 10-zel vezetnek, az azt jelenti, hogy addig 55 fej és 45 írás volt, és a fejek aránya 55 százalék. Ha ezután az 1000-edik dobásra a fejek előnye 20-ra nő, akkor addigra 510 fej és 490 írás lesz, és a fejek aránya 51 százalék. A fejek aránya jelentősen közeledett az 50 százalékhoz annak ellenére, hogy a fejek vezetése az írások ellen duplájára, 10-ről 20-ra nőtt.

Bernoulli azt bizonyította be, hogy ez nem valamiféle esetleges konkrét számpélda volt, hanem éppen ez a tipikus, és minden más esetben is, amikor a véletlen szerephez jut. A véletlen már csak ilyen: bizonyos szempontból egyre nagyobb hullámokat vet (ilyen a fejek és az írások különbsége), miközben más szempontból a hullámai egyre inkább elcsitulnak (mint például a fejek és az írások arányának esetében). Mindkétfajta jelenség egyidejűleg létezik, mindkettő mindig elkerülhetetlenül jelen van. Bernoulli matematikai tétele mindkétfajta hullám tulajdonságait egzakt matematikai képletekkel írta le, és azóta matematikusok az ilyesfajta tételeket nevezik a nagy számok törvényeinek - többes számban, mivel azóta Bernoulli eredeti tételét nagymértékben finomították, és számos másfajta "véletlenhullám" tulajdonságainak leírására is alkalmazták.

A nagy számok törvényei jól szemléltethetők a véletlen bolyongással. Mondjuk egy hóttrészeg ember mindig teljesen véletlenszerűen lép egyet jobbra vagy balra. Kérdés, hogy ilyen feltételek mellett előbb-utóbb hazajut-e - feltéve persze, hogy az otthona abban az utcában van, amelyben éppen tántorog. Nos, az ember naivan azt gondolná, hogy ha induláskor eléggé messzire van otthonától, akkor valószínűleg sohasem fog hazajutni, mivel mindig a kiindulási pont körül fog tántorogni, kisebb-nagyobb kilengésekkel. (A példában eltekintünk attól, hogy részegünk idővel majdcsak kijózanodik.) De a nagy számok törvényéből következik, hogy még így is biztosan hazajut előbb-utóbb.

Ez nemcsak akkor érvényes, ha emberünk végig csakis egy egyenes mentén tántorog jobbra-balra. Ha keresztutcák is vannak, és azokon is elfordulhat, azaz a tántorgását nemcsak egy, hanem két dimenzióban végzi, akkor is hazajut előbb-utóbb, akármilyen messzire lakik. Ha viszont már emeletek is vannak, azaz a séta három dimenzióban történik, akkor távolról sem biztos, hogy részegünk valaha is hazaér. Erre az esetre már a nagy számok törvényei közül egy másik bizonyul érvényesnek. Abból pedig éppen az derül ki, hogy még ha részegünk történetesen a szomszéd ház első emeletén lakik is, akkor is 1/3 fölött van a valószínűsége annak, hogy sohasem ér haza. Ez esetben bolyonghat, amíg csak világ a világ és még két napig.

A nagy számok törvényei tisztán matematikai tételek, némelyikük nagyon is bonyolult. Ezzel együtt a nagy számok törvényei megerősítik azt az intuitív világképet, hogy aki sokáig játszik, az előbb-utóbb nyer - bár nagy valószínűséggel kevesebbet, mint amennyit addig elvesztett. Az is igaz, hogy ami furcsaság egyáltalán előfordulhat, az előbb-utóbb elő is fog. A nagy számok törvényei bizonyos értelemben megerősítik azt az ősi tudást, hogy a szerencse vak.

Nagyapám szokta volt mondani: mindig legyen nálad egy sorsjegy, hogy ha a szerencse be akar jönni hozzád, akkor ne zárt kapukat találjon. Nem kell hinni benne, és nem kell ennél többet tenni a kegyeiért, nem is érdemes, de ennyit igen. A nagy számok törvényei a maguk absztrakt módján lényegében ugyanezt mondják.

Figyelmébe ajánljuk

Szemrevaló: Páva – Valódi vagyok?

  • SzSz

A társadalmi szerepek és identitások a pszichológia egyik legjobban kutatott területe. Mead szerint nincs is objektív valóság, azt az egyének maguk konstruálják; Goffman úgy véli, az egész világ egy színpad, ahol mind különböző szerepeket játsszunk; míg Stryker elmélete azt magyarázza, hogy minden ember ezernyi identitással rendelkezik, s azok hierarchiába rendeződnek.

Szemrevaló: A fény

  • - bzs -

Tom Tykwer csaknem háromórás eposza mintha egy másik korból időutazott volna napjainkba (Tykwer maga is a Babylon Berlint, a múlt század húszas éveit hagyta hátra).

Szemrevaló: Gépek tánca

Markológépekkel táncolni, az ám a valami! Amikor a kotrókanál kecsesen emelkedik a magasba, akkor olyan, mint egy daru – mármint a madár (lehet, hogy magyarul nem véletlenül hívják így az emelőszerkezetet?) –, „nyakát” nyújtogatja, „fejét” forgatja.

Le nem zárt akták

A művészi identitás és a láthatóság kérdéseit helyezi középpontba Pataki Luca első önálló kiállítása. Keszegh Ágnes kurátor koncepciója szerint a tárlat krimiként épül fel: a látogatónak fragmentumokból, nyomokból kell rekonstruálnia a történetet. Az anyag kísérlet a művészszerep radikális újragondolására, és az igazi kérdése az, hogy az alkotói késztetés ledarálható-e.

Ingyen Carlsberg

  • - turcsányi -

Valamikor a múlt század kilencvenes éveinek elején Bille August nemzetközi hírű svéd filmrendező rájött, hogy mégsem lenne jó, ha ő lenne a filmművészet második Ingmar Bergmanja, még akkor sem, ha az ügyért addig számos követ megmozgatott (Hódító Pelle Max von Sydow-val, 1987; Legjobb szándékok, egyenesen Bergman forgatókönyvéből, 1992).

Utánunk a robotok?

A Székesfehérváron tavasszal bemutatott színpadi átiratot Szikora János, a Vörösmarty Színház tizenhárom év után elköszönő igazgatója rendezte. A színház vezetésére kiírt, majd megismételt pályázat után ősztől már Dolhai Attila irányításával működő teátrum irányvonala minden bizonnyal változni fog, a társulat egy része is kicserélődött, így A Nibelung-lakópark egy korszak összegzésének, Szikora János búcsúelőadásának is tekinthető.

Túlélni a békét

Az előadás ismét azt bizonyította, hogy egy ideje a Miskolci Nemzeti Színházé a magyar nyelvű színjátszás egyik legerősebb társulata. Pedig a darab – annak ellenére, hogy színházi felkérésre született – egyáltalán nem kínálja magát könnyen a színrevitelre.

A belülről bomlasztók

Fideszes alkalmazottak sopánkodnak, hogy ejnye, ejnye, nem vigyáz a Tisza Párt a szimpatizánsai adataira! A mostani adatszivárgási botrányt alaposan felhabosítva tálalja a kormánypárti közeg, a Tisza cáfol, hogy valóban kerültek ki valós adatok, de azokat más módon is beszerezhették fideszes körök.

„Idő és hely hoz létre igazi közösséget”

A Freeszfe elnökeként teljesen az egyesület körüli teendők kötötték le a figyelmét, mostantól pedig a FREEDOM, az új otthonuk szellemiségének kialakítása a cél. Arról kérdeztük, mit terveznek az épülettel, mit jelent a szabadság, és egyáltalán, milyen iskola lesz itt.

A Bolsonaro-végjáték

Szeptember 11-én a brazil szövetségi legfelsőbb bíróság, a Supremo Tribunal Federal (STF) bűnösnek mondta ki a demokratikus rend elleni szövetkezésben és 27 év és 3 hónap szabadságvesztésre ítélte Jair Messias Bolsonarót, Brazília volt elnökét, aki 2019 és 2022 között töltötte be ezt a posztot.