Maga itt a tánctanár?

A tapasztalat ereje

  • Mérő László
  • 2009. március 12.

Egotrip

Az 1970-es években a matematikai folklórban viharos sebességgel elterjedt egy feladat, amely egy nagy amerikai tévévetélkedőbe is megtalálta az útját (és később egy magyarba is). A vetélkedőben a feladat így jelent meg: a kvíz győztesét három ajtó elé vezették, amelyek közül egy mögött egy igen értékes nyeremény volt, a másik kettő mögött lényegében semmi. Miután a győztes kiválasztott egy ajtót, a játékvezető még nem nyitotta azt ki, hanem ezt mondta: "Mindnyájan tudjuk, hogy a másik két ajtó közül legalább az egyik mögött nincs a nagy nyeremény. Nos, én most kinyitom az egyiket." Ezután kinyitotta az egyik ajtót, és mindenki láthatta, hogy a nagy nyeremény valóban nem ott van. Majd a játékvezető így szólt: "Kedves játékos, ha úgy érzi, most még meggondolhatja magát, és választhatja a másik ajtót." A millió dolláros kérdés: Ön, kedves Olvasó, váltana-e a játékos helyében, vagy sem?

Az 1970-es években a matematikai folklórban viharos sebességgel elterjedt egy feladat, amely egy nagy amerikai tévévetélkedőbe is megtalálta az útját (és később egy magyarba is). A vetélkedőben a feladat így jelent meg: a kvíz győztesét három ajtó elé vezették, amelyek közül egy mögött egy igen értékes nyeremény volt, a másik kettő mögött lényegében semmi. Miután a győztes kiválasztott egy ajtót, a játékvezető még nem nyitotta azt ki, hanem ezt mondta: "Mindnyájan tudjuk, hogy a másik két ajtó közül legalább az egyik mögött nincs a nagy nyeremény. Nos, én most kinyitom az egyiket." Ezután kinyitotta az egyik ajtót, és mindenki láthatta, hogy a nagy nyeremény valóban nem ott van. Majd a játékvezető így szólt: "Kedves játékos, ha úgy érzi, most még meggondolhatja magát, és választhatja a másik ajtót." A millió dolláros kérdés: Ön, kedves Olvasó, váltana-e a játékos helyében, vagy sem?

Az emberek többségének válasza: "Dehogy váltok!" A játékvezető azzal, hogy kinyitott egy érdektelen ajtót, semmilyen új információt nem adott, hiszen úgyis tudtam, hogy a két másik ajtó közül ki tud nyitni egy olyat, ami mögött nincs semmi. Az esélyek egyenlőek, vagy itt van a nyeremény, vagy ott, és megütne a guta, ha váltanék, és kiderülne, hogy ezzel elléptem a nagy nyereménytől.

A matematika nem ezt mondja. A Bayes-tétel segítségével kiszámolható, mekkora az esély a nyerésre, ha váltunk, illetve ha nem váltunk. A számolás eredménye az, hogy ha nem váltunk, akkor egyharmad eséllyel nyerünk, ha viszont váltunk, akkor kétharmad eséllyel. De miért higgye el ezt az eredményt az, aki nem ért a matematikához? Egy matematikus is tévedhet, például alkalmazhatja hibásan a tételt.

Sokféle módon próbáltam elmagyarázni matematikához nem értő értelmes embereknek, miért ez az eredmény, például így: Képzeljük el, hogy a játékvezető nem kinyit egy ajtót, ami mögött nincs semmi, hanem azt ajánlja fel a győztesnek, hogy most vagy megmarad az eredeti választásánál, vagy megkaphatja mindkét másik ajtót, ha vált. Ilyen feltételek mellett persze mindenki számára világos, hogy érdemes a dupla esélyt választani. Csakhogy az ajtónyitás után is ugyanez a helyzet: ha a játékos egyből eltalálta a nyerő ajtót, akkor veszít a váltással, ha pedig nem találta el egyből, akkor nyer vele. Tehát ha vált, akkor kétharmados eséllyel nyer.

Ez egy erősnek látszó érv, mégis szinte senkit sem győz meg. Valahogy erősebbnek bizonyul az intuitív ellenérv: mitől nőtt volna duplájára a másik ajtó esélye, amikor a játékvezető nyilvánvalóan nem adott semmiféle érdemi információt? Úgyis tudtuk, hogy tud olyan ajtót kinyitni, ami mögött nincs semmi. Kezdetben egyenlő volt mindhárom ajtó esélye, mitől változott volna ez meg, mitől lenne most a még játékban levő két ajtó esélye különböző?

Erre a kérdésre a korrekt válasz az, hogy a játékvezető valójában mégis adott információt azzal, hogy kinyitott egy ajtót, mivel ha a kinyitott ajtó mögött lett volna a nyeremény, akkor a másik ajtót nyitotta volna ki. Ez azonban még egy matematikában járatos ember számára sem igazán meggyőző érv, mert látszólag édesmindegy, melyik ajtó nyílik ki.

Matematikusként engem a Bayes-tételből kijövő eredmény önmagában is meggyőzött arról, hogy mégiscsak kellett valamiféle információt adnia a játékvezetőnek. Ezután már sikerült átlátnom, hogy valójában miért is adott, de még így sem ment könnyen. Ha nem hittem volna a Bayes-tételben, aligha sikerült volna átlátnom ezt. Akkor hát hogyan magyarázhatjuk el a megoldást valakinek, aki nem eleve hisz a matekban, hanem csak akkor, ha pontosan érti az alkalmazott tétel levezetését is? A tapasztalatom az, hogy az információ létezésének bizonygatásából szinte senki sem érti meg, miért ez az eredmény.

Rengeteg fajta módon próbálkoztam, alanyok bőven voltak a pszichológushallgatóim révén, akik többsége igen értelmes, de a matematikával szemben erős averzióval bíró ember. Az eredmény kiábrándító volt: sehogy sem sikerült elérnem, hogy hallgatóim tényleg átlássák ezt a voltaképpen nem is olyan bonyolult helyzetet. Végül azt találtam ki, hogy próbálják ki gyakorlati úton.

Leül két játékos, maguk elé tesznek három gyufásskatulyát. Az A játékos elfordul, és a B játékos beletesz valamit az egyik skatulyába. Ezután A rámutat egy skatulyára, mire B kinyit egy üreset. Ezután A vagy vált, vagy nem (többnyire nem vált, de most már ez a jó), majd B megmutatja, hogy A nyert-e vagy sem. Ezután A ismét elfordul, és játszanak tovább.

Az A játékos hol nyer, hol veszít. Önmagában a nyerések száma csak sok száz játék után győzné meg A-t, hogy érdemes váltania, vagy talán még akkor sem, nyugodtan érezhetné úgy, hogy egyszerűen csak pechje van. De a játék során általában nem ez történik. Egy idő után A elneveti magát: ekkor válik világossá számára, hogy miért érdemes váltania. Ha most szerepet cserélnek, akkor A általában megpróbálja rávezetni B-t, hogy miért érdemes váltania, de ugyanúgy nem jár sikerrel, mint korábban a matektanár. Mígnem egyszer csak B is elneveti magát, ő is "megvilágosodik". A tapasztalatom az, hogy 20-30 játék után a pszichológushallgatók többsége minden külön magyarázat nélkül megérti azt, amit az elvi magyarázatok segítségével sehogyan sem sikerült megértenie.

Onnan tudhatjuk, hogy valóban megértették a feladat megoldását, hogy ezután másképp próbálják elmagyarázni. Ezután már egy matematikus szemével is értelmes érveket mondanak akkor is, ha a matematikus másképp fogalmazna. Csakhogy: az ő érveik sem meggyőzőbbek a társaik számára. Hiába "világosodott meg" az A játékos, ő sem tudja B-t meggyőzni, akármilyen hibátlan érvekkel is operál.

Csodálatos gimnáziumi matektanárom, Herczeg János mondta: "A matek az ember kezén át megy be a fejébe." Úgy tűnik, ez sokkal általánosabban is igaz: vannak gondolatmenetek, amelyek annyira ellentmondanak a hétköznapi intuíciónknak, hogy csakis egy erős tapasztalat útján tudnak bemenni a fejünkbe még akkor is, ha önmagukban nem különösebben bonyolultak. Miután ez megtörtént, az "értők" már fél szavakból is megértik egymást, addig viszont a legdidaktikusabb gondolatmenet sem segít, minden logikus magyarázat lepereg rólunk.

Neked ajánljuk